CADENA DE MARKOV A TIEMPO CONTINUO
Un proceso estocástico en tiempo continuo X(t) , t ≥ 0 es una cadena de Markov en tiempo continuo sí:
La matriz P formada con las probabilidades pij
es una matriz estocástica y, por tanto, la matriz de transición en un paso de
la cadena de Markov encajada.
Una cadena de Markov en tiempo continuo se
comporta como una cadena de Markov encajada, con intervalos de tiempo de
permanencia en cada estado distribuidos exponencialmente e independientemente.
Ejemplos se tienen en el Proceso de Poisson de
tasa 1, Proceso de Yule y Sistema de dos procesadores secuenciales.
En las cadenas de Markov en tiempo discreto
(CMTD) se analizaron las probabilidades de transición en n pasos, pij^(n). El
homólogo en las cadenas de Markov en tiempo continuo (CMTC) es la función de
probabilidad de transición:
Es decir, la probabilidad de que estando
inicialmente en el estado i, después de t unidades de tiempo se entre en el
estado j.
• En las cadenas de Markov en tiempo continuo
(CMTC) no se puede hablar de pasos. Para cada par de estados (i, j)∈S la función de probabilidad de transición pij (t) es una función continua de t.
En general, es díficil determinar la función
de probabilidad de transición, si bien en casos sencillos se puede calcular. En
los Procesos de Poisson para i ≤ j la función de probabilidad de transición es:
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Diagramas de transición
Las cadenas de Markov a tiempo continuo se
pueden representar mediante un diagrama de transición, grafo en el que los
nodos representan estados, y un arco entre i y j describe la probabilidad de
transición de i a j y qij representa el arco correspondiente.
Ejercicio
de Cadenas de Markov de Tiempo Continuo
Usted ha decidido instalarse con un negocio
para lustrar zapatos. El establecimiento consta de dos sillas. En la silla 1
los zapatos del cliente son limpiados y embetunados, para luego pasar a la
silla 2, donde se les saca el brillo. Los tiempos de servicio en las dos sillas
son variables aleatorias independientes, exponencialmente distribuidas de tasas
μ1 y μ2 respectivamente. Considere que los clientes potenciales tienen tiempos
de llegada exponenciales de tasa λ y que
el cliente solo entra al establecimiento si las dos sillas estan desocupadas.
aModele el problema anterior como una cadena de Markov en tiempo continuo.
Solución:
La cadena (y las tasas de transición) son:
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