PROCESO DE POISSON

 El proceso de conteo {N(t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson de tasa, λ > 0 , si verifica:

♦ N(0) = 0

♦ Tiene incrementos independientes

♦ El número de sucesos en un intervalo de tiempo de longitud t sigue una distribución de Poisson de media (λt), es decir:


(λ t) es el promedio de observaciones o registros del evento en el intervalo [0, t] , así cuanto mayor es la longitud del intervalo de observación, mayor es el promedio de observaciones realizadas, y mayor también la incertidumbre del número de observaciones.

Ejercicio Proceso de Poisson

En la estación de policía de una importante ciudad se registran denuncias por los robos que ocurren se estima que el tiempo entre denuncias sigue una distribución exponencial con medida de 3 dias. Actualmente la alcadia desea conocer ciertos indicadores sobre los robos, con el fin de realizar mejoras en los sistemas de seguridad.

En primer lugar la alcadia desea la probabilidad que el siguiente robo ocurra en menos de dos días.

Función de probabilidad acumulada de variables aleatorias exponenciales:

X~exp(ʎ)

P(X<t)= 1-e^-ʎt

Para esta situación X se puede definir como el tiempo entre denuncias, el cual se distribuye exponencial con medida de 3 día.

Entonces: X~exp(ʎ= 1/3 dias)

Ahora la probabilidad de que el siguiente robo ocurra en menos de dos días es:

P(X<2)= 1-e^-2ʎ= 0.4865

También se desea conocer el numero promedio de denuncias registrados en una semana ¿Cuál es la varianza?

Sea N(t) las denuncias que se realizan en la estación en el intervalo [0,t]

Teniendo en cuenta todo hasta este punto podemos definir N(t) como un proceso de poisson con la misma tasa definida para la exponencial 1/3

Entonces tenemos:

E[N(t)]= ʎt= 7/3 denuncias

Var(N(t)]= ʎt= 7/3 denuncias^2

Además se desea conocer cual es la probabilidad de que en un dia se realicen dos denuncias

En este caso usaremos la formula presentada en la presentación de la teoría de este proceso.


Recordando que:

ʎ=1/3

t=1

n=2

Tendríamos

P[N(1)=2]= 0.4865

La cual sería la respuesta a la incógnita presentada.

Autor: Luis Toro

V-27.049.365

Referencias Bibliográficas

Rincón, L. (2012), Introducción a los procesos estocasticos, Mexico, Editorial UNAM.

Rincón, L. (2011), Introducción a los procesos estocasticos, Mexico, Editorial UNAM.

Vega, M (2004) Cadenas de Markov de tiempo continuo y aplicaciones [archivo PDF]. Recuperado de https://www.colibri.udelar.edu.uy/jspui/bitstream/20.500.12008/5442/6/uy24-17833.pdf

CADENAS DE MARKOV FINITAS. FENOMENOS DE ESPERA. (s.f) Recuperado de https://www.estadistica.net/

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